题目描述

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。

第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数 $N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0 \lt N, V \le 100$
$0 \lt v_i, w_i, s_i \le 100$

输入样例

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4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

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题目求解

方式一 三重for循环求解

相比$01$背包问题增加一层循环对物品的多种可选方式$s_i$进行遍历

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 110;

int n, m, f[N][N], v, w, s;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n ;i ++) {
        cin >> v >> w >> s;
        for(int j = 0 ; j <= m ;j ++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            for(int k = 0; k <= s && j >= k * v; k ++) {
                f[i][j] = max(f[i][j] , f[i - 1][j - k * v] + k * w);
            }
        }
    }
    cout << f[n][m];
}

滚动数组的优化，将二维数组优化为一维数组，相当于代码的等价变形，时间复杂度$O(n \times m \times s)$

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 110;

int n, m, f[N], v, w, s;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n ;i ++) {
        cin >> v >> w >> s;
        for(int j = m ; j >= 0 ;j --) {
            for(int k = 1; k <= s && j >= k * v; k ++) {
                f[j] = max(f[j] , f[j - k * v] + k * w);
            }
        }
    }
    cout << f[m] << endl;
}

方式二 转换为01背包问题求解

将所有的商品包括重复的商品当作一个商品来看，这就转换成了$01$背包问题,时间复杂度$O(n \times m \times s)$

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 10010;

int n, m, f[N], v, w, s, V[M], W[M], t;

int main() {
    cin >> n >> m;
    while(n --) {
        cin >> v >> w >> s;
        while(s --) {
            V[++t] = v;
            W[t] = w;
        }
        
    }
    for(int i = 1; i <= t; i ++)
        for(int j = m; j >= V[i] ; j --) 
            f[j] = max(f[j], f[j - V[i]] + W[i]);
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}